08.10.2026 Journal XXXVIII Zénon : pas de moitié sans sa moitié

08.10.2026 Page de journal XXXVIII

Chaque chemin a une moitié. Et cette moitié aussi.

Jeudi. Je devais écrire un e-mail. Trois lignes. Avant de m’y mettre, il y avait une chose à préparer : la version finale du fichier que j’allais envoyer. Avant de regarder la version finale du fichier, je devais vérifier un autre fichier. Et pour cela, trouver un dossier.

Quand j’ai trouvé le dossier, je me suis retrouvée une heure plus tard à une table où l’e-mail n’avait jamais été écrit, mais où sept fichiers avaient été corrigés.

Cela porte le nom de quelque chose qu’un homme d’Élée a décrit il y a deux mille cinq cents ans.

La division en deux

L’un des paradoxes de Zénon d’Élée est le suivant. Quelqu’un qui veut aller d’un endroit à un autre doit d’abord atteindre la moitié du chemin. Avant d’atteindre cette moitié, il doit atteindre la moitié de la moitié, c’est-à-dire le quart. Avant cela, le huitième. Cela continue ainsi à l’infini.

La conclusion est la suivante : pour pouvoir bouger, il faut achever une infinité de choses, et une infinité de choses ne peut pas s’achever en un temps fini. Donc le mouvement n’existe pas.

Zénon l’a construit pour défendre l’affirmation de son maître Parménide, « le changement est une illusion ». Les autres paradoxes, comme Achille et la tortue ou la flèche qui vole, font le même travail.

Tout le monde sait que cet argument est absurde : les gens marchent. Mais montrer exactement où se trouve l’absurdité a pris deux mille ans.

Une réponse à deux niveaux

La réponse d’Aristote se trouve au livre VI de la Physique. Selon lui, un chemin a la possibilité d’être divisible à l’infini, mais il n’est pas divisé en une infinité de parties. La divisibilité est une puissance, non un acte.

Dans l’entrée sur l’entéléchie, j’avais raconté la distinction entre puissance et acte. Ici, la même distinction est utile : les moitiés ont le potentiel d’exister, mais la personne qui marche ne les accomplit pas une à une.

La réponse moderne vient des mathématiques. La somme d’une moitié, plus un quart, plus un huitième, et ainsi de suite à l’infini, fait exactement un. Ce qui s’additionne en nombre infini peut s’approcher d’une valeur finie, parce que les pas rapetissent.

Ces deux réponses reposent sur des logiques différentes, mais elles aboutissent pour moi au même endroit : ce qui peut être divisé à l’infini n’est pas obligé de durer à l’infini.

La régression du commencement

Je reviens à mon jeudi matin. Ce que j’ai vécu, c’était la dichotomie elle-même.

Pour écrire l’e-mail, je dois d’abord préparer le fichier. Pour préparer le fichier, d’abord trouver le dossier. Pour trouver le dossier, d’abord... Chaque condition préalable ressemble à la moitié du travail précédent, et chaque moitié a elle-même une moitié.

C’est l’une des formes les plus courantes du commencement avec un TDAH. Dans l’entrée sur la paralysie de la tâche, j’avais parlé de « savoir ce qu’on doit faire et ne pas arriver à commencer ». En réalité, ce n’est pas seulement de ne pas savoir : on a toujours l’impression qu’il y a une chose à commencer avant de commencer.

Zénon a bien dessiné ce tableau. Ce qu’il a mal dessiné, c’est la conclusion.

Les pas rapetissent

Ici, j’apprends quelque chose des mathématiques. La somme est finie, parce que chaque pas est plus petit que le précédent.

En regardant mon jeudi matin, je vois que les conditions préalables rapetissaient réellement. L’e-mail, trois lignes. Préparer le fichier, vingt minutes. Trouver le dossier, deux minutes. Chaque condition préalable est plus petite que le travail qu’elle sert.

Mais mon esprit ne le ressent pas ainsi. L’esprit présente chaque condition préalable avec le même poids : une condition préalable est une condition préalable. Il ne voit pas leurs tailles.

La solution, c’est d’écrire la taille des pas. E-mail : trois minutes. Fichier : vingt minutes. Dossier : deux minutes. Total : vingt-cinq minutes. Quand j’écris les nombres, la chaîne qui paraissait infinie se transforme en une addition finie.

L’outil Combien de temps ça prend ? existe précisément pour cela : voir la taille du travail à l’avance.

Par quelle moitié commence-t-on

Il y a un autre aspect subtil dans le paradoxe de Zénon. Quand le chemin est divisé en deux, la question du « premier pas » disparaît. Par quelle moitié commences-tu ? Tu ne peux pas commencer par la plus petite, parce qu’il n’y a pas de plus petite.

Dans une vraie marche, en revanche, le premier pas est simple : tu lèves le pied. Lever le pied n’est pas une partie infiniment petite du chemin ; c’est la marche elle-même.

Commencer, c’est pareil. Chercher le premier pas sous la forme de « la plus petite condition préalable » est une erreur. Le premier pas, c’est la forme la plus courte du travail lui-même. Pour l’e-mail, c’est écrire la première phrase.

L’idée de l’entrée sur l’arrêt en cours de route vient aussi de là : même écrire la première phrase et s’arrêter déclenche le mouvement.

Mal lire Zénon

Il est très facile d’utiliser ce paradoxe comme excuse. La phrase « commencer est impossible, parce qu’il y a une infinité de conditions préalables » paraît logique.

Mais il faut regarder le but de Zénon lui-même. Il voulait montrer que le mouvement est impossible, et le mouvement n’est pas impossible. Commencer non plus. Le paradoxe n’est pas une preuve, c’est une énigme : en sachant qu’il est faux, nous cherchons où se trouve le faux.

Pour moi, l’endroit du faux, c’est de ne pas voir la taille des pas. L’esprit fait paraître grands de petits pas.

La flèche et l’instant

Un autre paradoxe de Zénon concerne aussi le commencement, mais sous un autre angle : la flèche qui vole.

Une flèche qui vole dans l’air se trouve, à n’importe quel instant, en un seul endroit. Ce qui se trouve en un seul endroit à un instant donné ne bouge pas, il est immobile. Si elle est immobile à chaque instant, la somme de tous les instants l’est aussi. Donc la flèche ne bouge pas.

L’erreur de cet argument est aussi qu’un instant ne peut pas saisir le mouvement : le mouvement n’est pas instantané, c’est un processus. Mais l’effet que cela a sur moi est autre. Quand je regarde l’instantané d’une journée, je ne vois pas de progrès. À midi, je regarde la table, elle est la même qu’il y a vingt minutes. À six heures du soir, je regarde, elle est encore la même.

Le progrès ne se trouve pas dans les instantanés, mais dans la différence entre eux. C’est pourquoi, en fin de journée, je dois compter non pas ce que j’ai fait, mais ce qui a changé par rapport au matin. La clôture de fin de journée est une manière de le faire : quatre points, quinze minutes, une comparaison avec la veille.

Achille et la tortue

C’est le paradoxe le plus connu de Zénon : le coureur rapide ne rattrapera jamais la tortue lente, parce qu’à chaque fois, il doit d’abord arriver à l’endroit où se trouvait la tortue, et pendant ce temps, la tortue a un peu avancé.

C’est un cousin du paradoxe de la dichotomie, et il se résout de la même façon : la somme d’une infinité de pas qui rapetissent est finie. Achille rattrape la tortue, parce que les durées écoulées rapetissent aussi.

Mais quand j’écris, je lui donne un autre nom. Ce que le travail n’arrive pas à rattraper, ce qui reste toujours un pas devant, c’est la tortue ; et moi, je suis Achille. À chaque fois, j’arrive à l’endroit où elle se trouvait, et pendant ce temps, le périmètre du travail s’est un peu élargi. Plus le travail grandit, plus il est difficile de le rattraper.

Ici, la solution mathématique du paradoxe est utile : je ne peux pas rattraper seulement si la vitesse de croissance du travail est supérieure à la mienne. Si la croissance ralentit, c’est-à-dire si j’arrête d’ajouter de nouvelles demandes, je rattrape. Geler le périmètre est donc un réglage de vitesse.

Les choses inachevées

Ce paradoxe a aussi un envers : atteindre la moitié et rester à moitié ne sont pas la même chose.

Quand quelqu’un qui s’est mis en route arrive à la moitié, il a accompli la moitié du chemin. Un travail resté inachevé, en revanche, c’est un travail arrêté au milieu du chemin. L’un est un progrès, l’autre un abandon.

Ce qui fait la différence, c’est que le mouvement continue. Si le premier travail à moitié d’hier est le début d’un travail qui sera terminé aujourd’hui, il n’est pas resté inachevé, il continue. Dans l’entrée sur l’arrêt en cours de route, j’ai raconté le mécanisme de cela : quand le travail est laissé ouvert, l’esprit y revient.

La différence entre laisser à moitié et rester à moitié, c’est que le pas suivant soit écrit. S’il est écrit, c’est laissé à moitié ; s’il n’est pas écrit, c’est resté à moitié.

Ce que j’ai écouté aujourd’hui

Arvo Pärt : Cantus in Memoriam Benjamin Britten.

Pour cordes et cloche, écrit après la mort de Britten. Dans la pièce, la même gamme descendante en la mineur est jouée à une vitesse différente par chaque groupe d’instruments ; chaque groupe deux fois plus lent que le précédent. La cloche sonne par intervalles.

On appelle cette structure un canon de mensuration, et elle rend audibles les moitiés de Zénon. La même ligne à demi-vitesse, au quart de la vitesse, au huitième de la vitesse. Les sons lents arrivent plus tard, mais tous jouent la même ligne.

La pièce fait entendre que ce qui peut être divisé à l’infini arrive pourtant quelque part.

À demain

Demain, c’est vendredi. Demain matin, j’écrirai l’e-mail en premier. Je regarderai le fichier ensuite. Que l’on peut commencer sans connaître la moitié de la condition préalable, ce matin, je l’ai vu.